צורה

תכונות

איך מוכיחים?

מקבילית

הגדרה: מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.

מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

שני זוגות של צלעות נגדיות שוות.

מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.

האלכסונים חוצים זה את זה.

מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית

הזוויות הנגדיות שוות.

מרובע שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

כל שתי זוויות סמוכות סכומן 180⁰.

מרובע שבו זוג אחד של צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית.

מלבן

הגדרה : מקבילית שבה זווית אחת ישרה.

מקבילית שבה זווית אחת ישרה היא מלבן

שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות.

מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.

האלכסונים חוצים זה את זה.

האלכסונים  שווים זה לזה.

כל חצאי האלכסונים שווים זה לזה.

כל הזוויות שוות ובנות 90⁰ .

מרובע ששלוש מזוויותיו בנות 90⁰ הוא מלבן

מעוין

הגדרה: מקבילית שבה זוג צלעות סמוכות שוות.

מקבילית שבה זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

כל הצלעות שוות.

מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.

האלכסונים חוצים זה את זה.

מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה הוא מעוין.

האלכסונים מאונכים זה לזה.

האלכסונים חוצי זוויות.

מקבילית שאחד מאלכסוניה חוצה זווית היא מעוין.

הזוויות הנגדיות שוות.

כל שתי זוויות סמוכות סכומן 180⁰.

ריבוע

הגדרה: מעוין ובו זווית ישרה.

           מלבן ובו שתי צלעות סמוכות שוות.

מעוין שבו זווית ישרה הוא ריבוע.

מלבן ובו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

כל הצלעות שוות.

זהו שילוב של מלבן ומעוין.

האלכסונים חוצים זה את זה.

מרובע שאלכסוני חוצים זה את זה שווים זה לזה ומאונכים זה לזה הוא ריבוע.

האלכסונים מאונכים זה לזה.

האלכסונים חוצי זוויות הישרות.

האלכסונים  שווים זה לזה.

כל חצאי האלכסונים שווים זה לזה.

כל הזוויות שוות ובנות 90⁰ .

צורה

תכונות/משפט

משפט חפיפה/משפט הפוך

משפטי חפיפה

אם שני משולשים שווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית הכלואה ביניהם, הם חופפים.

אם שני משולשים שווים בשתי זוויות ובצלע הכלואה ביניהם, הם חופפים.

אם שני משולשים שווים בשלושת צלעותיהם, הם חופפים.

אם שני משולשים שווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה, הם חופפים.

משולש

מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה.

מול הצלע הגדולה הזווית הגדולה.

סכום זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן סמוכות לה.

סכום שתי צלעות תמיד גדול מהשלישית

סכום הזוויות 180⁰            שטח : צלע * גובה לצלע

                                              2

כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע.

משולש שווה-שוקיים

(משו"ש)

שתי צלעות שוות.

אם במשולש שתי צלעות שוות זהו משולש שווה-שוקיים

זוויות הבסיס שוות (וחדות).

אם במשולש שתי זוויות  שוות זהו משולש שווה-שוקיים.

תיכון לבסיס הוא גם גובה לבסיס וגם חוצה זווית הראש

משולש שבו התיכון הוא גם גובה/חוצה זווית הראש (ולהפך) הוא משולש שווה-שוקיים.

חוצי זוויות הבסיס  שווים זה לזה.

הגבהים לשוקיים  שווים זה לזה.

התיכונים לשוקיים שווים זה לזה.

משולש שווה צלעות

(ש"צ)

כל הצלעות שוות

משולש שכל צלעותיו שוות הוא משולש שווה צלעות.

כל הזוויות שוות זו לזו ובנות 60⁰

משולש ששתים מזוויותיו בנות 60⁰ הוא משולש שווה צלעות

כל התיכונים שווים.

משולש שווה שוקיים שאחת מזוויותיו בת 60⁰ הוא שווה צלעות

כל הגבהים שווים.

כל התיכונים הם גם גבהים וגם חוצי-זוויות (ולהפך).

כל חוצי הזוויות שווים.

משולש ישר-זווית

זווית אחת ישרה ושתיים חדות.

שטח= מכפלת הניצבים : 2

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

אם במשולש תיכון לצלע שווה למחציתה זהו משולש ישר זווית והתיכון הוא ליתר.

משפט פיתגורס: סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע צלע שלישית זהו משולש ישר-זווית ושתי הצלעות הם הניצבים

אם זוויות משולש הם 30,60,90 אז הניצב שמול זווית ה30- שווה למחצית היתר

אם במשולש ישר זוית ,ניצב שווה למחצית היתר אז הזוית שמול הניצב שווה 30 מעלות.

צורה

תכונות/משפט

איך מוכיחים?/משפט הפוך

טרפז

הגדרה: יש בו זוג אחד של צלעות מקבילות.

מרובע בעל זוג של צלעות מקבילות הוא טרפז.

שני הזוגות של הזוויות הצמודות לשוקיים משלימות ל 180⁰.

מרובע שבו צלע שסמוכות לה שתי זוויות שסכומן 180⁰ הוא טרפז.

טרפז

ישר-זווית

טרפז שבו זווית ישרה הוא טרפז ישר זווית.

מרובע שבו שתי צלעות מקבילות וזווית ישרה הוא טרפז ישר זווית.

יש בו זוג אחד של צלעות מקבילות.

שני הזוגות של הזוויות הצמודות לשוקיים משלימות ל 180⁰.

בכל טרפז ישר זווית לפחות שתי זוויות ישרות.

טרפז שווה שוקיים

הגדרה : טרפז שבו שתי השוקיים שוות זו לזו.

מרובע ששתיים מצלעותיו מקבילות והשתיים האחרות הנגדיות שוות הוא טרפז שווה שוקים.

האלכסונים שווים.

טרפז שאלכסוניו שווים הוא טרפז שווה שוקיים.

נקודת מפגש האלכסונים יוצרת שתי זוגות של צלעות שוות.

טרפז ששני חלקים מאלכסוניו שווים וגם השניים האחרים הוא טרפז שווה שוקיים.

שתי זוויות הבסיס שוות.

טרפז שבו זוויות הבסיס שוות הוא טרפז שווה שוקיים.

שתי הזוגות של הזוויות הצמודות לשוקיים משלימות ל 180⁰.

שתי הזוויות שצמודות לכל בסיס שוות.

צורה

תכונות/משפט

משפט חפיפה/משפט הפוך

מצולע משוכלל

כל הצלעות שוות.

מספר הצלעות = מספר הזוויות

כל הזוויות שוות.

מספר הזוויות = מספר הצלעות

כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.

בכל מצולע משולל אפשר לחסום מעגל.

נוסחה לסכום זוויות כולל                                      

180(N-2)

מספר זוויותN =

נוסחה לחישוב זווית יחידה.

180(N-2)

N

מספר זוויותN =

צורה

תכונות/משפט

משפט חפיפה/משפט הפוך

דלתון

הגדרה:  שני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף.

מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף הוא דלתון.

שתי זוגות של צלעות סמוכות שוות.

מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות (שני זוגות נפרדים) שוות הוא דלתון.

אלכסון ראשי : מחבר קודקודי הראש

אלכסון משני : זהו הבסיס המשותף.

משפט הדלתון

האלכסון המשני נחצה על ידי האלכסון הראשי.

מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה ואחד מהם חוצה את השני הוא דלתון.

האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני.

מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה ואחד מהם חוצה את שתי הזוויות בהם הוא פוגש הוא דלתון.

האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש.

מרובע שאחד מאלכסוניו חוצה את האלכסון השני וחוצה את שתי הזוויות בהם פוגש הוא דלתון.

משפט הדלתון : האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני מאונך לו וחוצה את זוויות הראש.

צורה

תכונות/משפט

משפט חפיפה/משפט הפוך

קטע אמצעים במשולש

הגדרה: מחבר את אמצעיהן של שתי צלעות.

קטע המחבר את אמצעיהן של שתי צלעות הוא קטע אמצעים.

מקביל לצלע השלישית בה אינו פוגש.

קטע במשולש המקביל לצלע ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.

שווה למחצית הצלע השלישית בה אינה פוגש.

קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה-הוא קטע אמצעים.

במשולש שלוש קטעי אמצעים אפשריים.

כאשר מחברים את כולם נוצרים במשולש 4 משולשים קטנים יותר.

כל הארבעה חופפים זה לזה.

קטע אמצעים בטרפז

הגדרה: מחבר את אמצעיהן של שתי השוקיים.

קטע המחבר את את אמצעיהן של שתי השוקים בטרפז הוא קטע אמצעים.

מקביל לבסיסים.

קטע בטרפז המקביל לבסיסים ושווה לממוצעם הוא קטע אמצעים.

שווה לממוצע הבסיסים.

קטע היוצא מאמצע שוק בטרפז ומקביל לבסיסים (מספיק אחד) הוא קטע אמצעים.

הקטע המחבר את אמצעי השוקיים בטרפז והקטע המחבר את אמצעי הבסיסים מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה.

צורה

תכונות

משפט הפוך

מעגל

הגדרה: המקום הגיאומטרי של כל הנדקודות הנמצאות במרחק קבוע מהנקדוה מסוימת.

למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות

לקשתות שוות מתאימות מיתרים שווים

מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שווים מהמרכז

אם מרחקם של שני מיתרים ממרכז המעגל שווה הם שווים זה לזה.

אם מיתר אחד גדול ממיתר שני אז מרחקו מהמרכז של המיתר הראשון קטן ממרחקו של המיתר השני.

אם מיתר אחד קרוב יותר למרכז ממיתר שני אז המיתר הראשון גדול מהמיתר השני.

כל הזוויות ההיקפיות השנענות על אותה קשת שוות זו לזו.

זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.

על מיתרים שווים נשענות זוויות היקפיות שוות.

הזוית המרכזית גדולה פי שתיים מכל זווית היקפית שנשענת על אותה קשת.

זווית היקפית קטנה פי שתיים מהזוית מרכזית שנשענת על אותה קשת.

זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל90⁰ מעלות

זווית היקפית בת 90⁰ מעלות במעגל נשענת על קוטר.

זוויות פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוייות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

זווית חיצונית למעגל שווה להפרש שבין הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית.

אנך ממרכז המעגל אל מיתר במעגל, חוצה את המיתר, הקשת המתאימה לו ואת הזווית המרכזית המתאימה.

אם קטע מהמהרכז חוצה מיתר במעגל הוא גם מאונך לו וחוצה את הזווית המרכזית והקשת המתאימה.

 כאשר שני מיתרים נחתכים במעגל מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.

משיק

הגדרה: ישר בעל נקודה אחת משותפת עם המעגל

הנקודה המשותפת נקראת נקודת ההשקה.

הזווית בין משיק לרדיוס בנקודת ההשקה היא 90⁰

ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק.

הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית השנענת על המיתר מצידו השני.

שני משיקים במעגל היוצאים מאותה נקודה שמחוץ למעגל שווים זה לזה.

הקטע המחבר את הנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למרכז המעגל חוצה את הזווית שבין המשיקים.

אם בין שני משיקים למעגל עובר קטע שחוצה את הזווית ביניהם הקטע עובר דרך מרכז המעגל.

משלוש חסום וחוסם

מרכז מעגל החוסם משלוש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות

מרכז מעגל החסום במשלוש הוא מפגש חוצי הזוויות.

מרובע חסום וחוסם

מרובע חסום: מרובע שקודקודיו על המעגל

סכום שתי הזוויות הנגדיות שווה ל180⁰

אם במרובע יש זוג אחד של זוויות נגדיות שסכומן 180⁰ אז ניתן לחסום אותו במעגל.

מרובע חוסם:  מרובע שכל צלעותיו משיקות למעגל

סכום זוג אחד צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.

אם במרובע זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני ניתן לחסום אותו במעגל.

צורה

שטח

היקף

ריבוע

מכפלת הצלע בעצמה

a²

צלע כפול 4

4a

מלבן

מכפלת צלע אחת בשנייה

ab

סכום צלע אחת ושנייה כפול 2

2(a+b)

מקבילית

מכפלת צלע בגובה המורד אליה

ah_a

סכום צלע אחת ושנייה כפול 2

2(a+b)

מעוין

מכפלת צלע בגובה

ah

צלע כפול 4

4a

טרפז

ממוצע הבסיסים (קטע אמצעים) כפול הגובה.

(a+b)h

     2

חיבור סכומי הצלעות.

a+b+c+d

משולש

מחצית מכפלת צלע בגובה המורד אליה.

ah_a

  2

חיבור סכומי הצלעות.

a+b+c

נוסחת הרון

_{Ö p(p-a)(p-b)(p-c)}

P=a+b+c

        2 

דלתון

מחצית מכפלת האלכסונים.

K1·k2

     2

סכום צלע אחת ושנייה כפול 2

2(a+b)

מעגל

רדיוס כפול רדיוס כפול פאי

ÕR²

שני רדיוסים (קוטר) כפול פאי

2ÕR

מרובע שאלכסוני מאונכים

שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה שווה למחצית מכפלת האלכסונים זה בזה.

K1·k2

     2

לכן שטח מעוין, ריבוע ודלתון שווים גם הם למחצית מכפלת האלכסונים.

צורה

תכונות

משפט הפוך

משפט תלס

שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהם קטעים פרופורציונים.

שני ישרים המקצים על שוקי זווית קטעים פרופורציונים מקבילים זה לזה.

חוצה זווית פנימית במשולש

חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.

קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתיחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות- חוצה את זוית המשולש.

משולשים דומים

הגדרה: שני משולשים נקראים דומים אם שלוש הזוויות שלהן שוות בהתאמה ובין שלושת זוגות הצלעות המתאימות קיים יחס שווה.

משפט דמיון ראשון: אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות והזוית שביניהן שווה בתאמה אז המשלושים דומים

משפט דמיון שני: אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זוויות אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי: אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות המתאימות אז המשולשים דומים.

משפט דמיון רביעי: אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות של צלעות מתאימות והזווית שמול הצלע הגדולה מהשתיים שוות בהתאמה אז המשולשים דומים.

קטעים וגדלים מתאימים במשולשים דומים

גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

חוצי זווית מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

הרדיוסים של מעגלים החסומים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות.

פרופורציות במעגל

אם למעגל יוצאים שני חותכים מאותה נקדוה אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.

אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני זהו גודל קבוע השווה לריבוע המשיק.